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Perchè 1 non è primo?
Si preferisce dare una definizione di numero primo diversa da quella comunemente
imparata alle elementari:
Sono primi i numeri che hanno due soli divisori (se stessi e l'unità).
Ecco alcune ragioni per preferire l'esclusione di 1, con la relativa considerazione della precedente definizione:
- Il numero 1 ha un solo divisore, mentre tutti i numeri primi ne hanno due.
Questo fenomeno si può generalizzare anche in altri casi: per esempio per molte funzioni aritmetiche,
come la funzione di Eulero definita dalla cardinalità
dell'insieme degli interi 0<=a=2. In questo caso, infatti,
dovremmo dire che Phi(p)=p-1 per tutti i p>=2, ma Phi(1)=1.
-
Molti teoremi diventerebbero molto più complicati dovendo tener conto delle
proprietà speciali di 1.
- Gli elementi invertibili degli anelli
(cioè quegli elementi a per i quali si può risolvere l'equazione ax=1)
hanno uno status speciale. Nell'insieme dei numeri naturali l'unico
elemento invertibile è proprio 1;
conviene quindi trattarlo a parte.
Si capisce da queste considerazioni che piuttosto che
dover fare continue eccezioni sulle definizioni dei teoremi, si preferisce fare una trattazione
meno naturale, ma più performante.
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